并查集复杂度

本部分内容转载并修改自 时间复杂度 - 势能分析浅谈，已取得原作者授权同意。

这里，先给出 的定义。为了给出这个定义，先给出 的定义。

定义 为：

即阿克曼函数。

这里， 表示将 连续应用在 上 次，即 ，。

再定义 为使得 的最小整数值。注意，我们之前将它描述为 ，反正他们的增长速度都很慢，值都不超过 4。

基础定义

每个节点都有一个 rank。这里的 rank 不是节点个数，而是深度。节点的初始 rank 为 0，在合并的时候，如果两个节点的 rank 不同，则将 rank 小的节点合并到 rank 大的节点上，并且不更新大节点的 rank 值。否则，随机将某个节点合并到另外一个节点上，将根节点的 rank 值 +1。这里根节点的 rank 给出了该树的高度。记 x 的 rank 为 ，类似的，记 x 的父节点为 。我们总有 。

为了定义势函数，需要预先定义一个辅助函数 。其中，。当 的时候，再定义一个辅助函数 。这些函数定义的 都满足 且 不是某个树的根。

上面那些定义可能让你有点头晕。再理一下，对于一个 和 ，如果 ，总是可以找到一对 令 ，而 ，在这个前提下，。 描述了 的最大迭代级数，而 描述了在最大迭代级数时的最大迭代次数。

对于这两个函数， 总是随着操作的进行而增加或不变，如果 不增加， 也只会增加或不变。并且，它们总是满足以下两个不等式：

考虑 、 和 的定义，这些很容易被证明出来，就留给读者用于熟悉定义了。

定义势能函数 ，其中 表示一整个并查集，而 为并查集中的一个节点。定义 为：

或为某棵树的根节点

然后就是通过操作引起的势能变化来证明摊还时间复杂度为 啦。注意，这里我们讨论的 操作保证了 和 都是某个树的根，因此不需要额外执行 和 。

可以发现，势能总是个非负数。另，在开始的时候，并查集的势能为 。

union(x,y) 操作

其花费的时间为 ，因此我们考虑其引起的势能的变化。

这里，我们假设 ，即 被接到 上。这样，势能增加的节点仅有 （从树根变成非树根），（秩可能增加）和操作前 的子节点（父节点的秩可能增加）。我们先证明操作前 的子节点 的势能不可能增加，并且如果减少了，至少减少 。

设操作前 的势能为 ，操作后为 ，这里 可以是任意一个 的非根节点，操作可以是任意操作，包括下面的 find 操作。我们分三种情况讨论。

  1. 和 并未增加。显然有 。
  2. 增加了， 并未增加。这里 至少增加一，即 ，势能函数减少了，并且至少减少 1。
  3. 增加了， 可能减少。但是由于 ， 最多减少 ，而 至少增加 。由定义 ，可得 。
  4. 其他情况。由于 不变， 不减，所以不存在。

所以，势能增加的节点仅可能是 或 。而 从树根变成了非树根，如果 ，则一直有 。否则，一定有 。即，。

因此，唯一势能可能增加的点就是 。而 的势能最多增加 。因此，可得 操作均摊后的时间复杂度为 。

find(a) 操作

如果查找路径包含 个节点，显然其查找的时间复杂度是 。如果由于查找操作，没有节点的势能增加，且至少有 个节点的势能至少减少 ，就可以证明 操作的时间复杂度为 。为了避免混淆，这里用 作为参数，而出现的 都是泛指某一个并查集内的结点。

首先证明没有节点的势能增加。很显然，我们在上面证明过所有非根节点的势能不增，而根节点的 没有改变，所以没有节点的势能增加。

接下来证明至少有 个节点的势能至少减少 。我们上面证明过了，如果 或者 有改变的话，它们的势能至少减少 。所以，只需要证明至少有 个节点的 或者 有改变即可。

回忆一下非根节点势能的定义，，而 和 是使 的最大数。

所以，如果 代表 所处的树的根节点，只需要证明 就好了。根据 的定义，。

注意，我们可能会用 代表 ， 代表 以避免式子过于冗长。这里，就是 。

当你看到这的时候，可能会有一种“这啥玩意”的感觉。这意味着你可能需要多看几遍，或者跳过一些内容以后再看。

这里，我们需要一个外接的 ，意味着我们可能需要再找一个点 。令 是搜索路径上在 之后的满足 的点，这里“搜索路径之后”相当于“是 的祖先”。显然，不是每一个 都有这样一个 。很容易证明，没有这样的 的 不超过 个。因为只有每个 的最后一个 和 以及 没有这样的 。

我们再强调一遍 指的是路径压缩 之前 的父节点，路径压缩 之后 的父节点一律用 表示。对于每个存在 的 ，总是有 。同时，我们有 。由于 ，我们用 来统称，即，。我们需要造一个 出来，所以我们可以不关注 的值，直接使用弱化版的 。

如果我们将不等式组合起来，神奇的事情就发生了。我们发现，。也就是说，为了从 迭代到 ，至少可以迭代 不少于 次而不超过 。

显然，有 ，且 在路径压缩时不变。因此，我们可以得到 ，也就是说 的值至少增加 1，如果 没有增加，一定是 增加了。

所以， 至少减少了 1。由于这样的 节点至少有 个，所以最后 至少减少了 ，均摊后的时间复杂度即为 。

为何并查集会被卡

这个问题也就是问，如果我们不按秩合并，会有哪些性质被破坏，导致并查集的时间复杂度不能保证为 。

如果我们在合并的时候， 较大的合并到了 较小的节点上面，我们就将那个 较小的节点的 值设为另一个节点的 值加一。这样，我们就能保证 ，从而不会出现类似于满地 compile error 一样的性质不符合。

显然，如果这样子的话，我们破坏的就是 函数「y 的势能最多增加 」这一句。

存在一个能使路径压缩并查集时间复杂度降至 的结构，定义如下：

二项树（实际上和一般的二项树不太一样），其中 j 是常数， 为一个 加上一个 作为根节点的儿子。

我们的二项树

边界条件， 到 都是一个单独的点。

令 ，这里我们有 （证明略）。每轮操作，我们将它接到一个单节点上，然后查询底部的 个节点。也就是说，我们接到单节点上的时候，单节点的势能提高了 。在 ，， 的时候，势能增加量为：

变换一下，去掉所有的取整符号，就可以得出，势能增加量 ，m 次操作就是 。

关于启发式合并

由于按秩合并比启发式合并难写，所以很多 dalao 会选择使用启发式合并来写并查集。具体来说，则是对每个根都维护一个 ，每次将 小的合并到大的上面。

所以，启发式合并会不会被卡？

首先，可以从秩参与证明的性质来说明。如果 可以代替 的地位，则可以使用启发式合并。快速总结一下，秩参与证明的性质有以下三条：

  1. 每次合并，最多有一个节点的秩上升，而且最多上升 1。
  2. 总有 。
  3. 节点的秩不减。

关于第二条和第三条， 显然满足，然而第一条不满足，如果将 合并到 上面，则 会增大 那么多。

所以，可以考虑使用 代替 。

关于第一条性质，由于节点的 最多翻倍，所以 最多上升 1。关于第二三条性质，结论较为显然，这里略去证明。

所以说，如果不想写按秩合并，就写启发式合并好了，时间复杂度仍旧是 。

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